Кузнецов Л.А. Ряды. Задача 7

Интегральный признак Коши

Постановка решения. Исследовать сходимость ряда с положительными членами

,

где , причем первообразная функции  легко вычисляется.

План решения.

Если , причем первообразная функции  легко вычисляется, то применяем интегральный признак Коши:

Если функция , принимающая в точках  значения , убывает в некотором промежутке , то ряд  и несобственный интеграл  либо оба сходятся, либо оба расходятся одновременно.

1. Проверяем, что , т.к. если , то ряд расходится, т.к. не выполнено необходимое условие сходимости ряда.

2. Упрощаем, если требуется, выражение для , т.е. будем исследовать сходимость ряда , такого, что  при  и  выбраны так, чтобы функция  имела очевидную первообразную . Затем используем вторую теорему сравнения.

3. Исследуем сходимость несобственного интеграла по определению

.

4. Применяем интегральный признак Коши к ряду

и затем делаем вывод о сходимости или расходимости исходного ряда , используя вторую (предельную) теорему сравнения.

Замечание. Интегральный признак Коши применяется в частности к рядам вида .

Задача 7. Исследовать на сходимость ряд.

.

Сравним данный ряд с рядом . Мы можем это сделать согласно предельному признаку сравнения:

.

Воспользуемся интегральным признаком Коши:

Ряд  сходится, значит сходится и исследуемый ряд.

Предыдущая задача

Следующая задача

Купить решение своего варианта с оплатой по SMS

VIP Казань — Казань для достойных людей