Кузнецов Л.А. Ряды. Задача 2

Сумма ряда

Постановка задачи. Найти сумму ряда

,

где  – целые числа.

План решения.

Суммой ряда  называется предел последовательности его частичных сумм , т.е.

,

где .

1. По условию задачи

.

Т.к. корни знаменателя отличаются на целое число, то члены последовательности частичных сумм ряда  легко найти, т.к. в выражении  многие слагаемые взаимно уничтожаются.

2. Раскладываем общий член ряда на элементарные дроби:

,

где числа  находим методом неопределенных коэффициентов. Для этого приводим к общему знаменателю дроби в левой и правой части тождества и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях  в числителях слева и справа. В результате получим систему трех уравнений с тремя неизвестными, которая имеет единственное решение.

3. Находим -ю частичную сумму ряда:

,

сократив соответствующие слагаемые.

4. Вычисляем сумму ряда по формуле .

Замечание. Если суммирование ряда начинается не с 1, а с некоторого номера , то -я частичная сумма ряда будет .

Задача 2. Найти сумму ряда.

.

Представим общий член ряда в виде

.

Тогда

.

.

Тогда

.

Сумма  первых членов ряда

Сумма ряда

.

Предыдущая задача

Следующая задача

Купить решение своего варианта с оплатой по SMS

VIP Казань — Казань для достойных людей