Кузнецов Л.А. Ряды. Задача 3

Первая теорема сравнения

Постановка задачи. Исследовать сходимость ряда с неотрицательными членами

,

где  и , … – функции с известными наименьшими и наибольшими значениями, причем функция  монотонно зависит от , …

План решения.

1. Проверяем, что , т.к. если , то ряд расходится, т.к. не выполнено необходимое условие сходимости ряда.

2. Поскольку , то можно применить первую теорему сравнения:

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами  и .

Если , то из сходимости ряда  следует сходимость ряда .

Если , то из расходимости ряда  следует расходимость ряда .

3. Чтобы сделать вывод о сходимости (расходимости) данного ряда, необходимо установить справедливость одной из двух гипотез:

1) Исходный ряд  сходится.

2) Исходный ряд  расходится.

3.1. Проверяем первую гипотезу. Чтобы установить, что исходный ряд  сходится, нужно найти сходящийся ряд  такой, что .

В качестве эталонного ряда используем одни из следующих рядов:

а) сходящийся гармонический ряд  при  ( – константа);

б) сходящийся геометрический ряд  при  ( – константа).

Если существует сходящийся ряд  такой, что выполняется неравенство , то по первой теореме сравнения исходный ряд  сходится. В противном случае проверяем вторую гипотезу.

3.2. Проверяем вторую гипотезу. Чтобы установить, что исходный ряд  расходится, нужно найти расходящийся ряд  такой, что .

В качестве эталонного ряда  используем одни из следующих рядов:

а) расходящийся гармонический ряд  при  ( – константа);

б) расходящийся геометрический ряд  при  ( – константа).

Если существует расходящийся ряд  такой, что выполняется неравенство , то по первой теореме сравнения исходный ряд  расходится.

Замечание. Для оценки общего члена ряда используем неравенства:

, , ,

 и т.п.

Задача 3. Исследовать на сходимость ряд.

Пример 1.

.

Сравним данный ряд с рядом . Т.к. для любых значений  выполняется неравенство

,

то из сходимости ряда  будет следовать сходимость исследуемого ряда. Ряд  сходится согласно интегральному признаку Коши:

.

Значит, сходится и исследуемый ряд.

Пример 2.

.

Сравним данный ряд с рядом . Т.к. при любых значениях  выполняется неравенство

,

то из расходимости ряда  будет следовать расходимость исследуемого ряда. Ряд  расходится согласно интегральному признаку Коши:

.

Значит, расходится и исследуемый ряд.

Предыдущая задача

Следующая задача

Купить решение своего варианта с оплатой по SMS

VIP Казань — Казань для достойных людей