Кузнецов Л.А. Дифференциальные уравнения. Задача 8

Метод изоклин

Постановка задачи. Для дифференциального уравнения

     (1)

или

     (2)

методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку .

План решения.

Теорема (Коши). Если функция  непрерывна в точке  и в ее окрестности, то существует решение  уравнения (2), такое, что . Если непрерывна также частная производная  данной функции, то это решение единственно.

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка имеет следующую формулировку. Найти решение  (интеграл ) дифференциального уравнения (1) или (2), удовлетворяющее начальному условию  (). С геометрической точки зрения это означает, что среди интегральных линий данного уравнения необходимо найти ту, которая проходит через заданную точку .

Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения (2) состоит в том, что оно в каждой точке , принадлежащей области , в которой выполняются все условия теоремы Коши, задает направление  касательной к единственной интегральной линии уравнения (2), проходящей через точку , т.е. поле направлений в области .

В области  для уравнения (2) можно выделить однопараметрическое семейство линий , каждая из которых называется изоклиной. Как следует из определения, вдоль каждой изоклины поле направлений постоянно, т.е. .

Нахождение изоклин и направлений вдоль них позволяет упорядочить поле направлений и приближенно построить интегральные линии данного дифференциального уравнения, т.е. графически проинтегрировать это уравнение.

Задача 8. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку .

.

Запишем уравнение в виде:

.

Построим поле направлений для данного дифференциального уравнения. Изоклины, соответствующие направлениям поля с угловым коэффициентом равным , есть  или , т.е. прямые.

Интегральная кривая имеет, очевидно, форму эллипса.

Предыдущая задача

Следующая задача

Купить решение своего варианта с оплатой по SMS

VIP Казань — Казань для достойных людей