Кузнецов Л.А. Дифференциальные уравнения. Задача 7

Уравнения в полных дифференциалах

Постановка задачи. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

.     (1)

План решения.

1. Если в некоторой области   и  имеют непрерывные частные производные и выполнено условие

,

то  – дифференциал некоторой функции . Тогда уравнение (1) называется уравнением в полных дифференциалах и может быть записано в виде

,     (2)

где  – непрерывная дважды дифференцируемая функция.

Из (2) следует, что интегральные кривые определяются уравнением  при всех возможных значениях .

Для отыскания  заметим, что

.     (3)

2. Интегрируя первое равенство в (3) по , получим

,

где  – неизвестная функция, которую еще предстоит найти.

3. Дифференцируя  по , имеем

.

4. Находим  и затем .

Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

.

Имеем

.

.

Т.е. имеем уравнение в полных дифференциалах.

.

.

.

или

.

Предыдущая задача

Следующая задача

Купить решение своего варианта с оплатой по SMS

VIP Казань — Казань для достойных людей