Глава IV. Восток после упадка античного общества

1. Древняя культура Ближнего Востока, несмотря на эллинистические влияния, никогда не исчезала. В александрийской науке явно проступает влияние как Востока, так и Греции; Константинополь и Индия тоже были важными пунктами соприкосновения Востока и Запада. В 395 г. н. э. Феодосии I основал Византийское государство; столица государства Константинополь была греческим городом, но она была административным центром обширных областей, где грека составляли только часть городского населения. В течение тысячи лет это государство, борясь против сил, наступавших с востока, севера и запада, выступало и как хранитель греческой культуры, и как связующее звено между Востоком и Западом. Месопотамия рано, во втором столетии н. э., перестала зависеть от римлян и греков, сперва под властью парфянских королей, позже (266 г.) при чисто персидской династии Сасанидов. Области, прилегающие к Инду, в течение нескольких столетий управлялись греческими династиями, пока те не исчезли в первом столетии н. э. Сменившие их местные индийские королевства поддерживали культурные связи с Персией и Западом.

Политическое господство греков над ближним Востоком почти полностью сошло на нет после внезапного возникновения ислама. После 622 г., года хиджры, арабы с поразительной стремительностью овладели значительной частью Западной Азии (с такой же стремительностью, с какой позже завоевали Америку испанцы), и до конца седьмого столетия они стали обладателями части западно-римского государства – в Сицилии, Северной Африке и в Испании. Везде, куда они проникали, они пытались заменить греко-римскую культуру культурой ислама. Государственным языком стал арабский, заменивший греческий или латинский, из-за нового языка научных документов легко можно упустить из виду, что и при господстве арабов сохранялась замечательная преемственность культуры. Прежние местные культуры в это время получили даже больше возможностей сохраниться, чем при господстве чужеземцев-греков. Например, Персия, несмотря на переход власти к арабам, в значительной мере оставалась прежней страной Сасанидов. Заодно продолжалось соревнование различных традиций, только теперь в новом виде. В течение всего времени господства ислама непрерывно существовала греческая традиция, сохранившая свой особый характер в отличие от различных местных культур.

2. Мы видели, что самые замечательные математические результаты в ходе борьбы и объединения восточной и греческой культур во время расцвета Римской империи были достигнуты в Египте. С упадком Римской империи центр математических исследований постепенно перемещался в Индию, а позже – в обратном направлении, в Месопотамию. Первые хорошо сохранившиеся индийские тексты в области точных наук – это «Сиддханты», часть которых, «Сурья», дошла до нас, вероятно, в достаточно точно соответствующей оригиналу (примерно между 300 и 400 годами н. э.) форме. В этих книгах содержится в основном астрономия, мы находим там эпициклы и шестидесятичные дроби. Такие факты позволяют предположить наличие влияния греческой астрономии, относящегося, быть может, к эпохе «Алмагеста». Возможно, что они указывают на непосредственный контакт с вавилонской астрономией. Но, кроме этого, в «Сиддхантах» мы находим многочисленные типично индийские особенности. «Сурья Сиддханта» содержит таблицу значений синуса (джия), а не хорд.

Результаты, изложенные в «Сиддхантах», систематически разъяснялись и развивались в индийских математических школах, укоренившихся преимущественно в Уджджайне (Центральная Индия) и в Майсоре (Южная Индия). До нас дошли имена и книги отдельных индийских математиков, начиная с пятого столетия н.э.; некоторые книги доступны нам в английских переводах.

Наиболее известными математиками Индии были Ариабхата (прозванный «первым», около 500 г.) и Брахмагупта (около 625 г.). Насколько они были знакомы с результатами греков, вавилонян и китайцев, мы можем только строить предположения, но, во всяком случае, они проявляют значительную оригинальность. Для их работ характерны арифметическо-алгебраические разделы. В их склонности к неопределенным уравнениям проявляется некоторое родство с Диофантом.

Современником Брахмагупты был Бхаскара I, автор комментария к трактату Ариабхаты и астрономического сочинения «Маха-Бхаскария», содержащего математические разделы (неопределенные линейные уравнения, элементы тригонометрии и пр.). За этими учеными в ближайшие столетия последовали другие, работавшие в тех же областях; в трудах последних представлено астрономическое, частично арифметическо-алгебраичестое направление, они занимались также измерениями и тригонометрией. Ариабхата I имел для значение 3,1416. Любимым предметом было нахождение рациональных треугольников и четырехугольников. Особенно успешно над этим работал Магавира из Майсорской школы (около 850 г.). До нас дошли также трактаты Шридхары (IX–X вв.), Ариабхаты II (около 950 г.), Шрипати (XI в.) и др. Около 1150г. в Уджджайне, где работал Брахмагупта, мы находим другого выдающегося математика, Бхаскару II. Первое общее решение неопределенного уравнения первой степени ( – целые числа) встречается у Брахмагупты. Поэтому, строго говоря, нет оснований называть неопределенные линейные уравнения диофантовыми. Диофант допускал еще и дробные решения, индийские математики интересовались только целочисленными. Они пошли дальше Диофанта и в том отношении, что допускали отрицательные корни уравнений, хотя это в свою очередь, должно быть, соответствует более древней практике, сложившейся под влиянием вавилонской астрономии. Например, для уравнения Бхаскара II находил решения и , но относительно приемлемости отрицательного корня он высказывал известный скептицизм. Его «Лилавати» в течение столетий оставалась на Востоке образцовой книгой по арифметике и искусству измерений; император Акбар перевел ее на персидский язык (1587 г.), в 1816 г. она была издана в Калькутте и после этого многократно переиздавалась как учебник математики для религиозных школ.

Можно сказать с уверенностью, что в древней Индии было найдено много ценнейших математических результатов; например, недавно стало известно, что ряды Грегори–Лейбница для были найдены уже при Нилаканте (ок. 1500 г.).

3. Наиболее известным достижением индийской математики является наша современная десятичная позиционная система. Десятичная система – давнего происхождения, тоже относится к позиционной системе, но сочетание их, по-видимому, произошло в Индии, причем постепенно была вытеснена более древняя непозиционная система. Первое известное нам применение десятичной позиционной системы относится к 595 г. – сохранилась плита, на которой число лет 346 записано в такой системе. Но еще задолго до этого индийцы располагали системой для словесного выражения больших чисел, причем использовался принцип позиционности. Имеются тексты более раннего периода, в которых вполне определенным образом применяется слово «сунья», которое обозначает нуль. Интересна так называемая Бахшалийская рукопись – семьдесят полос из березовой коры, неизвестной даты и неизвестного происхождения, – ее относят и к третьему, и к двенадцатому столетию. Она содержит традиционный индийский материал о неопределенных и о квадратных уравнениях, а также о приближениях, и в ней для обозначения нуля применяется точка. Самый древний письменный документ со значком для нуля относится к девятому столетию. Все это значительно более позднего происхождения, чем знак для нуля в вавилонских текстах. Быть может, знак 0 для нуля возник под греческим влиянием («ouden» – греческое слово, означающее ничто); в то время как вавилонскую точку писали только между цифрами, индийский нуль появляется также на последнем месте, и таким образом 0, 1, 2, ..., 9 становятся равноправными цифрами.

Десятичная позиционная система проникла по караванным путям во многие области Ближнего Востока и постепенно заняла место наряду с другими системами. Ее продвижение в Персию, может быть, также и в Египет, вполне могло произойти в эпоху Сасанидов (224—641), когда Персия, Египет и Индия были в тесном общении. В те времена в Двуречье еще могло сохраняться воспоминание о древней вавилонской позиционной системе. Самое древнее определенное упоминание индийской позиционной системы вне Индии мы находим в написанной в 662 г. книге Севера Себохта, сирийского епископа. Научный мир ислама смог познакомиться с так называемой индийской системой, когда ал-Фазари перевел на арабский язык «Сиддханты» (около 773 г.). Постепенно эту систему все шире стали применять в арабском мире и далее, хотя одновременно оставались в ходу и греческая, и другие местные системы. Могли иметь определенное значение и общественные факторы – восточной традиции десятичная позиционная система была ближе, чем греческая. Весьма разнообразны знаки, которые применялись для записи цифр позиционной системы, но имеются два главных типа: индийские обозначения, которые применялись восточными арабами, и так называемые цифры «гобар» (или «губар»), которые применялись западными арабами в Испании. Знаки первого типа и сейчас еще применяются в арабском мире, но наша современная система, по-видимому, произошла из системы «гобар». Существует (уже упомянутая) теория Вёпке, согласно которой знаки «гобар» применялись в Испании, когда туда вторглись арабы, а проникли эти знаки на запад гораздо раньше (ок. 450 г.) из Александрии через неопифагорейцев.

4. Месопотамия, которая при греческих и римских правителях стала форпостом Римской империи, при Сасанидах вернула себе положение центра торговых путей, Сасаниды управляли страной как коренная династия персидских королей, в духе Кира и Ксеркса. Нам мало что известно об этом периоде персидской истории и совсем мало – о состоянии науки в то время, но дошедшие до нас предания в том виде, в каком мы их находим у Омара Хайяма, Фирдоуси и в «Тысяче и одной ночи», подтверждают скудные исторические сведения о том, что период Сасанидов был эпохой культурного расцвета. Персия Сасанидов, находясь между Константинополем, Александрией, Индией и Китаем, была страной, в которой сошлись многие культуры. Вавилон исчез, но его сменил Ктесифон–Селевкия, который в свою очередь после арабского завоевания в 641 г. уступил место Багдаду. При этом завоевании многое в старой Персии осталось нетронутым, хотя пехлевийский язык был заменен арабским в качестве официального. Даже ислам был воспринят лишь в видоизмененной форме (шиизм); христиане, евреи и приверженцы Заратустры, как и прежде, вносили свой вклад в культурную жизнь багдадского халифата.

В математике периода ислама мы видим такое смешение различных влияний, какое мы уже встречали в Александрии и в Индии. Халифы Аббасиды, особенно ал-Мансур (754–775), Харун-ал-Рашид (786–809) и ал-Мамун (813–833), покровительствовали астрономии и математике; ал-Мамун даже соорудил в Багдаде «Дом мудрости» с библиотекой и обсерваторией. Исламские работы в области точных наук, которые начались с перевода «Сиддхант» ал-Фазари, достигли своей первой вершины в деятельности уроженца Хивы Мухаммеда ибн Муса ал-Хорезми, творчество которого приходится на время около 825 г. Мухаммед написал много книг по математике и астрономии. В своей арифметике он разъясняет индийскую систему записи чисел. Арабский оригинал этой работы потерян, но имеется латинский перевод двенадцатого столетия. Эта книга была одним из источников, с помощью которых Западная Европа познакомилась с десятичной позиционной системой. Заглавие перевода: «Об индийском числе, сочинение Алгоризми» (Algorizmi de numero Indozum). В других рукописях автор именовался Algorismus и Algorithmus, что ввело в наш математический язык термин «алгоритм» – латинизированное имя автора. Нечто подобное произошло с алгеброй Мухаммеда, которая была озаглавлена «Хисаб ал-джабр ва-л-мукабала» (буквально: «Исчисление восполнения и противопоставления»), что, вероятно, означало «науку об уравнениях». Эта алгебра, арабский текст которой сохранился, стала известной на Западе в латинском переводе, и слово «ал-джабр» стало употребляться как синоним всей науки «алгебры», которая действительно до середины девятнадцатого столетия была не чем иным как наукой об уравнениях.

В этой «алгебре» рассматривались линейные и квадратные уравнения, но без какого бы то ни было алгебраического формализма. Не было и «риторического» алгоритма, какой имелся у Диофанта. Среди этих уравнений мы находим такие три типа:

которые надо было рассматривать отдельно, поскольку допускались только положительные коэффициенты. Эти три типа в последующих текстах часто повторяются – так, «уравнение как золотая нить проходит в течение нескольких столетий через алгебраические книги», пишет профессор Карпинский. Многие рассуждения носят геометрический характер. Астрономические и тригонометрические таблицы Мухаммеда (со значениями синуса и тангенса) тоже в числе арабских книг, которые позже были переведены на латинский. Его геометрия представляет собой простое перечисление правил измерения. Она имеет известное значение, потому что ее можно непосредственно связать с одним еврейским текстом 150 г. В ней явно сказывается пренебрежение традициями Евклида. Астрономия ал-Хорезми является извлечением из «Сиддхант», и поэтому в ней можно обнаружить определенное греческое влияние, воспринятое посредством санскритского текста. Вообще работы ал-Хорезми больше выявляют восточное, чем греческое влияние, и это следует отнести за счет вполне обдуманных намерений автора.

Труды ал-Хорезми в целом сыграли важную роль в истории математики как один из главных источников, с помощью которых Западная Европа познакомилась с индийскими цифрами и с арабской алгеброй. До середины девятнадцатого столетия в алгебре сказывалось ее восточное происхождение – ей не хватало аксиоматического обоснования, и этим она резко отличалась от геометрии Евклида. В наших школьных учебниках алгебры и геометрии до сих пор сохранились эти признаки их различного происхождения.

Следующая страница