Кузнецов Л.А. Аналитическая геометрия. Задача 7

Расстояние от точки до плоскости

Постановка задачи. Найти расстояние от точки  до плоскости, проходящей через точки ,  и .

План решения.

Способ 1.

Расстояние  от точки  до плоскости  равно

. (1)

1. Находим уравнение плоскости, проходящей через три точки ,  и

.

2. По формуле (1) находим искомое расстояние.

Способ 2.

Расстояние  от точки  до плоскости равно длине проекции вектора  на нормальный вектор плоскости , т.е.

. (2)

Поскольку нормальный вектор плоскости  ортогонален векторам  и , его можно найти как их векторное произведение:

.

1. Находим координаты векторов:

и нормального вектора плоскости

.

2. По формуле (2) находим искомое расстояние.

Способ 3.

Искомое расстояние можно найти как высоту тетраэдра с вершинами , ,  и , опущенную из вершины  на грань  (см. задачу 6).

Задача 7. Найти расстояние от точки  до плоскости, проходящей через точки .

Способ 1.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

.

Расстояние  от точки  до плоскости

.

Находим

.

Способ 2.

Находим

.

Расстояние от точки до плоскости

.

Способ 3.

Находим

.

Расстояние

.

Предыдущая задача

Следующая задача

Купить решение своего варианта с оплатой по SMS 

VIP Казань — Казань для достойных людей