Кузнецов Л.А. Аналитическая геометрия. Задача 14

Симметрия относительно прямой или плоскости

Симметрия относительно прямой

Постановка задачи. Найти координаты точки , симметричной точке  относительно прямой .

План решения.

1. Находим уравнение плоскости, которая перпендикулярна данной прямой и проходит через точку . Так плоскость перпендикулярна заданной прямой, то в качестве ее вектора нормали можно взять направляющий вектор прямой, т.е.

.

Поэтому уравнение плоскости будет

.

2. Находим точку  пересечения прямой  и плоскости  (см. задачу 13).

3. Точка  является серединой отрезка , где точка  является точкой симметричной точке , поэтому

.

Задача 14. Найти точку , симметричную точке  относительно прямой.

Уравнение плоскости, которая проходит через точку  перпендикулярно заданной прямой будет:

Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

Откуда  – точка пересечения прямой и плоскости.  является серединой отрезка , поэтому

Т.е. .

Симметрия относительно плоскости

Постановка задачи. Найти координаты точки , симметричной точке  относительно плоскости .

План решения.

1. Находим уравнение прямой, которая перпендикулярна данной плоскости и проходит через точку . Так прямая перпендикулярна заданной плоскости, то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор нормали плоскости, т.е.

.

Поэтому уравнение прямой будет

.

2. Находим точку  пересечения прямой  и плоскости  (см. задачу 13).

3. Точка  является серединой отрезка , где точка  является точкой симметричной точке , поэтому

.

Задача 14. Найти точку , симметричную точке  относительно плоскости.

Уравнение прямой, которая проходит через точку  перпендикулярно заданной плоскости будет:

.

Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

Откуда  – точка пересечения прямой и плоскости.  является серединой отрезка , поэтому

Т.е. .

Предыдущая задача

Купить решение своего варианта с оплатой по SMS 

VIP Казань — Казань для достойных людей