Кузнецов Л.А. Ряды. Задача 16

Мажорируемые ряды

Постановка задачи. Для данного функционального ряда  построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на отрезке .

План решения.

Функциональный ряд  называется мажорируемым в некоторой области изменения x, если существует такой сходящийся числовой ряд  с положительными членами, что для всех значений x из данной области выполняются соотношения . Иначе говоря, ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена некоторого сходящегося числового ряда с положительными членами.

1. Подбираем такой числовой ряд , что на указанном отрезке  выполняется неравенство .

2. Показываем с помощью теорем сравнения или признаков Даламбера или Коши, что ряд  сходится.

Задача 16. Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке.

.

Для данного функционального ряда на отрезке  мажорирующим будет ряд , т.к. при любых n и  выполняется неравенство:

.

Ряд  является сходящимся геометрическим рядом с суммой

.

Значит, исследуемый функциональный ряд сходится равномерно на отрезке .

Предыдущая задача

Следующая задача

Купить решение своего варианта с оплатой по SMS

VIP Казань — Казань для достойных людей