Кузнецов Л.А. Ряды. Задача 15

Равномерная сходимость ряда

Постановка задачи. Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость функционального ряда

на отрезке . При каких  абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит  ?

План решения.

Функциональный ряд  называется равномерно сходящимся на отрезке , если для любого как угодно малого  найдется такой номер , что при всех  будет выполнятся неравенство

для любого  из отрезка .

1. Т.к. , то имеем знакочередующийся ряд. Для знакочередующегося ряда остаток  ряда меньше по модулю первого отброшенного члена ряда, поэтому

.

2. На отрезке имеем

.

3. Решая неравенство , находим такой номер , что при всех  будет выполняться неравенство

для  любого из отрезка .

Задача 15. Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость функционального ряда на отрезке . При каких  абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит  ?

.

Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке , если для всякого  можно найти такой номер , что при  и любом  модуль остатка ряда . Остаток знакочередующегося ряда меньше по модулю первого отброшенного члена ряда, поэтому на отрезке

откуда

.

Т.е. для   и при любых   .

Предыдущая задача

Следующая задача

Купить решение своего варианта с оплатой по SMS

VIP Казань — Казань для достойных людей