:: Главная страница | Решение задач:
высшая математика,
эконометрика,
:: |
Навигация | Решебник.Ру / Кузнецов Л.А. Линейная алгебра. Задача 1 |
Кузнецов Л.А. Линейная алгебра. Задача 1Понятие линейного пространстваПостановка задачи. Образует ли линейное пространство заданное множество , в котором определены «сумма» любых двух элементов и и «произведение» любого элемента на любое число . План решения. Пусть, задано некоторое множество , элементы которого будем называть векторами (независимо от природы элементов множества). Наряду с множеством векторов будем рассматривать числовое поле , под которым подразумевается поле комплексных чисел либо поле вещественных чисел . Элементы будем обозначать латинскими малыми буквами, а элементы множества – греческими малыми буквами. Определение. Пара называется линейным пространством, если () задан закон, по которому любой паре векторов сопоставлен вектор, называемый их суммой и обозначаемый символом , причем для любых выполнено: () ; () ; () для любого существует нуль-вектор , что ; () для любого существует противоположный вектор , что ; () задан закон, по которому для любого и любого числа сопоставлен вектор , называемый произведением числа на вектор , причем выполнено: () ; () ; () ; () . Исходя из определения линейного пространства, проверяем следующие условия. 1. Являются ли введенные операции сложения и умножения на число замкнутыми в , т.е. верно ли, что и ? Если нет, то множество не является линейным пространством, если да, то продолжаем проверку. 2. Находим нулевой элемент такой, что . Если такого элемента не существует, то множество не является линейным пространством, если существует, то продолжаем проверку. 3. Для каждого элемента определяем противоположный элемент такой, что . Если такого элемента не существует, то множество не является линейным пространством, если существует, то продолжаем проверку. 4. Проверяем выполнение остальных аксиом линейного пространства, т.е. и : Если хотя бы одна из этих аксиом нарушается, то множество не является линейным пространством. Если выполнены все аксиомы, то множество – линейное пространство. Задача 1. Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов и и произведение любого элемента на любое число ? Множество всех векторов, лежащих на одной оси; сумма , произведение . Введенные таким образом операции являются замкнутыми в данном множестве, т.к. сумма двух векторов лежащих на одной оси есть вектор лежащий на той же оси и произведение вектора на число также будет вектором на той же оси. Проверим выполнение аксиом линейного пространства. Аксиомы группы : : – выполняется; : – выполняется; : в качестве нуля возьмем нуль-вектор, т.к. ; : в качестве противоположного элемента возьмем противоположный вектор , т.к. . Аксиомы группы : : – выполняется; : – выполняется; : – выполняется; : – выполняется. Т.е. множество всех векторов, лежащих на одной оси с суммой и произведением является линейным пространством. Купить решение своего варианта с оплатой по SMS :: Рекомендуемая литература. Ремендуем покупать учебную литературу в интернет-магазине VIP Казань — Казань для достойных людей
|
||
:: Статистика |
|
Задачники: Демидович Б.П. для втузов, Берман Г.Н., Минорский В.П. |
:: Copyright © Решебник.Ru :: Решения Кузнецов :: |