Кузнецов Л.А. Ряды. Задача 11

Область сходимости функционального ряда

Постановка задачи. Найти область сходимости функционального ряда

.

План решения.

При каждом допустимом значении  рассматриваем данный ряд как числовой и исследуем его сходимость, применяя теоремы сравнения, признаки Коши, Даламбера и др. Таким образом находим те значения , при которых данный ряд сходится. Совокупность таких значений  образует область сходимости ряда.

При использовании признаков Даламбера или Коши поступаем следующим образом.

1. Находим  по одной из формул (если предел существует)

 или ,

где  – общий член ряда.

2. Т.к. по признакам Даламбера или Коши ряд сходится при  и расходится при , находим интервал сходимости, решая неравенство .

3. Исследуем поведение ряда в граничных точках интервала сходимости.

Задача 11. Найти область сходимости функционального ряда.

Пример 1.

.

Сравним данный ряд с рядом . Мы можем это сделать согласно предельному признаку сравнения:

Ряд  будет сходиться при  (обобщенный гармонический ряд), откуда .

Область сходимости: .

Пример 2.

.

Воспользуемся радикальным признаком Коши:

.

.

Исследуем сходимость на концах интервала:

 – ряд расходится, т.к. не выполняется необходимый признак сходимости ряда:

.

Область сходимости: .

Предыдущая задача

Следующая задача

Купить решение своего варианта с оплатой по SMS

VIP Казань — Казань для достойных людей