Кузнецов Л.А. Интегралы. Задача 7

Интегрирование рациональных дробей с простыми комплексными корнями знаменателя

Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл

.

План решения.

1. Введем обозначения:

,

.

Сравним степени числителя и знаменателя .

Если подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь, т.е. степень числителя больше или равна степени знаменателя , то сначала выделяем целую часть рациональной функции, поделив числитель на знаменатель:

Здесь многочлен – остаток от деления  на , причем степень меньше степени .

2. Разложим правильную рациональную дробь

на элементарные дроби. Если ее знаменатель имеет простые комплексные корни , т.е.

,

где

,

то разложение имеет вид

.

3. Для вычисления неопределенных коэффициентов ,  приводим к общему знаменателю дроби в правой части тождества, после чего приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в числителях слева и справа. Получим систему уравнений с  неизвестными, которая имеет единственное решение.

4. Интегрируем элементарные дроби вида

.

Выделяем в знаменателе полный квадрат (поскольку , можно обозначить ) и делаем замену переменной . Получим

5. Складываем результаты интегрирования целой части (если она есть) и элементарных дробей и записываем ответ.

Задача 7. Найти неопределенные интегралы.

Предыдущая задача

Следующая задача

Купить решение своего варианта с оплатой по SMS

VIP Казань — Казань для достойных людей