Кузнецов Л.А. Интегралы. Задача 6

Интегрирование рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя

Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл

.

План решения.

1. Введем обозначения:

,

.

Сравним степени числителя и знаменателя .

Если подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь, т.е. степень числителя больше или равна степени знаменателя , то сначала выделяем целую часть рациональной функции, поделив числитель на знаменатель:

Здесь многочлен – остаток от деления на , причем степень меньше степени .

2. Разложим правильную рациональную дробь

на элементарные дроби. Если ее знаменатель имеет простые вещественные корни , кратности соответственно, т.е. , то разложение на элементарные дроби имеет вид

.

3. Для вычисления неопределенных коэффициентов , приводим к общему знаменателю дроби в правой части равенства, после чего приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в числителях слева и справа. Получим систему уравнений с неизвестными, которая имеет единственное решение.

4. Интегрируем целую часть (если она есть) и элементарные дроби, используя табличные интегралы, и записываем ответ

где – многочлен степени .

Задача 6. Найти неопределенные интегралы.

Предыдущая задача

Следующая задача

Купить решение своего варианта с оплатой по SMS

VIP Казань — Казань для достойных людей