Глава III. Греция

12. Одним из самых ранних александрийских математиков римского периода был Никомах из Герасы (ок. 100 г.), чье «Арифметическое введение» – наиболее полное из сохранившихся изложений пифагорейской арифметики. Там рассматриваются большей частью те же вопросы, что и в арифметических книгах Евклида, но тогда как у Евклида числа изображаются отрезками, Никомах пользуется арифметическими обозначениями и, если имеет дело с неопределенными числами, обычной речью. Полигональные и пирамидальные числа Никомаха оказали влияние на средневековую арифметику, главным образом через Боэция.

Одно из крупнейших произведений этого второго александрийского периода — «Великое собрание» Птолемея, более известное под арабизированным названием «Альмагест» (ок. 150 г.). «Альмагест» – астрономический труд высшего мастерства и весьма оригинальный, хотя многие из его идей идут от Гиппарха или от Кидинну и других вавилонских астрономов. В нем есть и тригонометрия с таблицей хорд для углов от 0° до 180°, соответствующая таблице синусов для углов от 0° до 90° через полградуса. Для синуса угла в 1° Птолемей нашел значение

(точное значение 0,017453...), для  его значение . В «Альмагесте» мы находим формулу для синуса и косинуса суммы и разности двух углов и зачатки сферической тригонометрии. Теоремы формулируются геометрически – наши современные тригонометрические обозначения идут лишь от Эйлера (восемнадцатый век). В «Альмагесте» мы находим и «теорему Птолемея» о четырехугольнике, вписанном в окружность. В «Планисферии» Птолемея рассматривается стереографическая проекция, а в его «Геометрии» положение на Земле определяется с помощью долготы и широты. Последние, таким образом, являются давним примером координат на сфере.

На стереографической проекции основана конструкция астролябии – прибора, который применяли для определения положения на Земле. Астролябия была известна в древности, и ею широко пользовались до введения октанта, позже – секстанта, в восемнадцатом веке.

Несколько старше Птолемея Менелай (ок. 100 г.). В его «Сферике» содержится геометрия сферы и рассматриваются сферические треугольники – предмет, которого нет у Евклида. Здесь мы находим «теорему Менелая» для треугольника в обобщенном для сферы виде. В астрономии Птолемея немало вычислений в шестидесятичных дробях, а трактат Менелая геометричен строго в духе евклидовой традиции.

К эпохе Менелая, возможно, относится и Герон, – во всяком случае мы знаем, что он точно описал лунное затмение 62 г.. Герон был энциклопедистом, он писал на геометрические, вычислительные и механические темы, его произведения – любопытная смесь греческого и восточного. В своей «Метрике» он выводит «формулу Герона» для площади треугольника () чисто геометрическим образом; сам результат приписывается Архимеду. В той же «Метрике» мы находим типично египетские «основные» дроби, например в приближении для  () Формулу Герона для объема усеченной пирамиды с квадратным' основанием без труда можно свести к формуле, имеющейся в Московском папирусе. Напротив, определение объема пяти правильных многогранников у Герона – в духе Евклида.

13. Еще сильнее восточный колорит в «Арифметике» Диофанта (ок. 250 г.). Уцелели только шесть книг оригинала, общее их число – предмет догадок. Искусная трактовка в них неопределенных уравнений показывает, что древняя алгебра Вавилона или, быть может, Индии не только существовала под тонким слоем греческой цивилизации, но ее совершенствовали немногочисленные деятели эпохи. Как и когда это происходило, мы не знаем, как не знаем, кем был Диофант, – возможно, что он был эллинизированный вавилонянин. Его книга – один из наиболее увлекательных трактатов, сохранившихся от греко-римской древности.

В собрание Диофанта входят весьма разнообразные задачи, а их решения часто в высшей степени остроумны. «Диофантов анализ» состоит в нахождении решений неопределенных уравнений вида  или систем таких уравнений. Типично для Диофанта то, что его интересуют только положительные рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получались искомые положительные рациональные решения.

Среди этих уравнений мы обнаруживаем такие, как  и , теперь известные как «уравнения Пелля». У Диофанта есть несколько теорем теории чисел, как, например, теорема (III, 19), что произведение двух целых чисел можно двумя способами представить как сумму двух квадратов, если каждый сомножитель – сумма двух квадратов. Есть и теоремы о разбивке числа на сумму трех и четырех квадратов. У Диофанта мы впервые встречаем систематическое использование алгебраических символов. У него есть особые знаки для неизвестного, для минуса, для обратной величины. Эти знаки все еще скорее сокращения, чем алгебраические символы в нашем смысле (они образуют так называемую реторическую алгебру); для каждой степени неизвестного был особый символ. Нет сомнения, что здесь перед нами не только арифметические вопросы вполне алгебраического характера, как в Вавилоне, но и хорошо развитые алгебраические обозначения, которые весьма способствовали решению задач значительно более сложных, чем любые ранее поставленные.

14. Последний из больших александрийских математических трактатов написан Паппом (конец третьего столетия). Его «Собрание» («Synagoge») – нечто вроде учебника для изучающих греческую геометрию, с историческими справками, с улучшением и видоизменением известных теорем и доказательств. Скорее всего, трактат надо было читать вместе с оригинальными трудами, а не самостоятельно.

Многие результаты древних авторов известны только в той форме, в какой они сохранились у Паппа, например задачи о квадратуре круга, удвоении куба и трисекции угла. Интересна глава об изопериметрических фигуpaх с положением, что круг имеет большую площадь, чем любой правильный многоугольник того же периметра. Здесь есть и замечание, что пчелиные соты обладают некоторыми максимально-минимальными свойствами. Полуправильные тела Архимеда тоже известны благодаря Паппу. Как и «Арифметика» Диофанта, «Собрание» Паппа – книга, которая будит мысль, и ее задачи вдохновляли многих исследователей более поздних времен.

Александрийская школа медленно умирала вместе с упадком античного общества. В целом она оставалась оплотом язычества против распространявшегося христианства, и некоторые из ее математиков отмечены и в истории античной философии. Прокл (410–485), чей «Комментарий к Первой книге Евклида» – один из наших главных источников по истории греческой математики, возглавлял школу неоплатоников в Афинах. В Александрии ту же школу представляла Гипатия, которая писала комментарии к классикам математики. Она была убита в 415 г. приверженцами св. Кирилла. Ее судьба сделала ее героиней романа Чарльза Кингсли (Charles Kingsley). Эти философские школы вместе со своими комментаторами в течение столетий то процветали, то хирели. Академия в Афинах была закрыта императором Юстинианом как языческая (529 г.), но к тому времени возникли школы в таких местах, как Константинополь и Джунди-Шапур (Jundishapur). В Константинополе сберегались многие старые своды рукописей и комментаторы продолжали на греческом языке закреплять память о греческой науке и философии. В 630 г. Александрию взяли арабы и верхний слой греческой цивилизации в Египте был заменен арабским слоем. Нет оснований утверждать, что знаменитую александрийскую библиотеку уничтожили арабы, потому что сомнительно, существовала ли еще она в то время. Фактически арабское завоевание не изменило существенным образом характера математических исследований в Египте. Мог иметь место регресс, но когда мы вновь услышим о египетской математике, окажется, что она следует древней греко-восточной традиции (например, Алхазен).

15. Мы закончим эту главу некоторыми замечаниями о греческой арифметике и логистике. Греческая математика отличала арифметику или науку о числах от логистики, то есть от практических вычислений. Термин «аритмос» обозначал только натуральное число, «количество, составленное из единиц» (Евклид, VII, определение 2; это значило также, что «один» не считалось числом). Нашего понятия действительного числа не знали. Поэтому отрезок прямой не всегда имел длину. Вместо наших операций с действительными числами пользовались геометрическими рассуждениями. Когда Евклиду нужно сформулировать, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, он говорит, что она равна половине площади параллелограмма с тем же основанием и лежащего между теми же параллелями (Евклид I, 41). Теорема Пифагора была зависимостью между площадями трех квадратов, а не между длинами трех сторон. В «Началах» Евклида имеется теория квадратных уравнений, но она излагается с помощью «площадей», а так как корни представляют собой отрезки, определяемые известными построениями, то можно установить, что допускались только положительные корни. Все же в «Началах» не обязательно, чтобы каждому отрезку соответствовало числовое значение. Такие представления об отрезках и числах надо считать продуманной системой, результатом победы платоновского идеализма среди той части правящего класса Греции, которая интересовалась математикой. Ведь согласно восточным представлениям той же эпохи относительно зависимости между алгеброй и геометрией никакие ограничения на понятие числа не налагались. Есть все основания полагать, что для вавилонян теорема Пифагора была числовой зависимостью между длинами сторон, и именно с такой математикой ознакомились ионийские ученые.

Обычная вычислительная математика, известная как «логистика», оставалась жизнеспособной во все периоды греческой истории. Евклид ее отвергал, но Архимед и Герон ею пользовались свободно, без угрызений совести. Ее основой была система счисления, которая со временем изменилась. Ранняя греческая система счисления была десятичной и аддитивной, как египетская и римская. В александрийскую эпоху, а может быть и раньше, появляется способ записи чисел, которым пятнадцать веков пользовались не только ученые, но и купцы и чиновники. Знаки греческого алфавита последовательно применялись для обозначения сначала наших символов 1, 2, ..., 9, затем десятков, от 10 кончая 90, и, наконец, сотен, от 100 кончая 900 ( и т.д.). Три архаичные буквы были добавлены к 24 буквам греческого алфавита, чтобы получить необходимые 27 знаков. С помощью такой системы любое число меньше 1000 можно было записать не более чем тремя знаками, например 14 как , так как ; числа, большие 1000, можно было выразить с помощью простого расширения такой системы. Ею пользуются в сохранившихся рукописях работ Архимеда, Герона и всех других классических авторов. Имеются археологические данные о том, что этой системе обучали в школах. Это была десятичная непозиционная система: как , так и  могло значить только 14. Такое отсутствие позиционности и использование не менее чем 27 знаков иной раз рассматривались как доказательство несовершенства системы. Но то, как легко ею пользовались математики древности, и то, что греческие купцы применяли ее даже при очень сложных расчетах – в Восточной Римской империи вплоть до ее гибели в 1453 г., – указывает, по-видимому, на наличие некоторых преимуществ. При известном опыте вычислений при такой системе мы действительно убеждаемся, что четыре основных действия можно выполнять достаточно легко, если твердо знать символы. Действия с дробями при подходящих обозначениях тоже просты, но греки не были при этом последовательны, так как у них не было единой системы: они пользовались египетскими «основными» дробями, вавилонскими шестидесятичными дробями и записью дробей, напоминающей нашу. Десятичные дроби не были введены, это великое усовершенствование в Европе появляется в эпоху позднего Ренессанса, когда вычислительный аппарат был развит значительно больше, чем когда бы то ни было в древности. Но даже в этих условиях десятичные дроби не были приняты во многих школах до восемнадцатого и девятнадцатого столетия, Доказывали, что алфавитная система счисления губительно повлияла на развитие греческой алгебры, так как применение букв для определенных чисел мешало применять буквы для обозначения чисел вообще, как это делается в нашей алгебре. Надо отвергнуть такое формальное объяснение отсутствия алгебры у греков до Диофанта, даже если высоко оценивать значение подходящих обозначений. Если бы классические авторы интересовались алгеброй, они создали бы подходящую символику, что действительно начал делать Диофант.

Вопрос об алгебре у греков можно будет разъяснить только после дальнейшего изучения связей греческой математики и вавилонской алгебры в общей системе связей между Грецией и Востоком.

VIP Казань — Казань для достойных людей